# MgO 截断能收敛性分析报告

## 1. 计算参数

| 参数          | 值                                   |
| ----------- | ----------------------------------- |
| 体系          | MgO (岩盐结构)                          |
| 空间群         | Fm$\bar{3}$m (No. 225)              |
| 每胞原子数       | 2                                   |
| 交换关联泛函      | PBE (Perdew-Burke-Ernzerhof)        |
| k-point 网格  | 3 × 3 × 3 (Monkhorst-Pack)          |
| k-point 数量  | 4                                   |
| Smearing 方式 | Gaussian, 宽度 0.1 eV                 |
| 收敛精度        | $5 \times 10^{-6}$ eV/atom          |
| 赝势          | O: O\_00PBE.usp, Mg: Mg\_00PW91.usp |
| 截断能范围       | 310 \~ 375 eV, 步长 5 eV              |
| 计算类型        | 单点能 (Single Point Energy)           |
| CASTEP 版本   | 8.0                                 |

### 参数文件内容

```
task : SinglePoint
comment : CASTEP calculation from Materials Studio
xc_functional : PBE
spin_polarized : false
opt_strategy : Default
page_wvfns :        0
cut_off_energy :      310.000000000000000
grid_scale :        1.500000000000000
fine_grid_scale :        1.500000000000000
finite_basis_corr :        0
elec_energy_tol :   5.000000000000000e-006
max_scf_cycles :      100
fix_occupancy : false
metals_method : dm
mixing_scheme : Pulay
mix_charge_amp :        0.500000000000000
mix_charge_gmax :        1.500000000000000
mix_history_length :       20
nextra_bands :        4
smearing_width :        0.100000000000000
num_dump_cycles : 0
calculate_ELF : false
calculate_stress : false
popn_calculate : true
calculate_hirshfeld : true
calculate_densdiff : false
popn_bond_cutoff :        3.000000000000000
pdos_calculate_weights : false
```

***

## 2. 截断能收敛原理

### 2.1 什么是截断能？

在密度泛函理论（DFT）的平面波方法中，电子波函数展开为平面波的线性组合：

$$
\psi\_n(\mathbf{r}) = \sum\_{\mathbf{G}} c\_{n,\mathbf{G}} , e^{i\mathbf{G} \cdot \mathbf{r}}
$$

其中 $\mathbf{G}$ 为倒格子矢量。截断能 $E\_{\mathrm{cut}}$ 定义了对平面波展开的截断条件：

$$
\frac{\hbar^2 |\mathbf{G} + \mathbf{k}|^2}{2m} \leq E\_{\mathrm{cut}}
$$

只有动能低于 $E\_{\mathrm{cut}}$ 的平面波分量被保留在基组中。因此，$E\_{\mathrm{cut}}$ 越大，基组越完备，计算结果越精确，但计算成本也越高。

### 2.2 为什么需要做收敛性测试？

理论上，当 $E\_{\mathrm{cut}} \to \infty$ 时，基组趋于完备，总能收敛到真实值。实际计算中，需找到一个足够大的 $E\_{\mathrm{cut}}$，使得继续增加截断能带来的能量变化小于可接受的阈值（通常为 **1 meV/atom**）。

截断能的选取需要平衡：

- **精度**：$E\_{\mathrm{cut}}$ 过低会导致基组不完备误差
- **效率**：$E\_{\mathrm{cut}}$ 越高，平面波数量增加，计算量急剧上升（$\propto E\_{\mathrm{cut}}^{3/2}$）

### 2.3 收敛判据

通常采用的收敛判据为：相邻截断能步长下的总能量差归一化到每原子后小于 **1 meV/atom**。

**Step 1 — 计算相邻截断能的总能量差**

对于截断能 $E\_{\mathrm{cut}}$ 与 $E\_{\mathrm{cut}} + \Delta E\_{\mathrm{cut}}$ 两次计算，总能量差为：

$$
\Delta E\_{\mathrm{total}} = E(E\_{\mathrm{cut}} + \Delta E\_{\mathrm{cut}}) - E(E\_{\mathrm{cut}})
$$

**Step 2 — 归一化到每原子**

$$
\Delta E\_{\mathrm{per};\mathrm{atom}} = \frac{\Delta E\_{\mathrm{total}}}{N\_{\mathrm{atoms}}}
$$

其中 $N\_{\mathrm{atoms}}$ 为单胞中的原子数（本文中 $N\_{\mathrm{atoms}} = 2$）。

**Step 3 — 单位换算为 meV**

$$
|\Delta E\_{\mathrm{per};\mathrm{atom}}| ; (\mathrm{meV/atom}) = |\Delta E\_{\mathrm{per};\mathrm{atom}}| ; (\mathrm{eV/atom}) \times 1000
$$

**Step 4 — 收敛判定**

当满足以下条件时，认为能量已收敛：

$$
\boxed{|\Delta E\_{\mathrm{total}}| / N\_{\mathrm{atoms}} \times 1000 < 1 ; \mathrm{meV/atom}}
$$

即相邻截断能之间的总能量变化量，平均到每个原子后小于 1 meV。该阈值约为化学精度的量级（$k\_{\mathrm{B}} T \approx 26$ meV at 300 K），是 DFT 计算中广泛采用的收敛标准。

> **注意**：能量差应为绝对值，因为总能量随截断能增大而单调递减（基组趋于完备），所以 $\Delta E\_{\mathrm{total}} < 0$，取绝对值后进行比较。

***

## 3. 数据结果

### 3.1 截断能扫描数据表

| 截断能 (eV) |    总能量 (eV)    |   每原子能量 (eV)  | 能量差 ΔE (meV) | ΔE/atom (meV/atom) |
| :------: | :------------: | :-----------: | :----------: | :----------------: |
|    310   | -1413.52901777 | -706.76450888 |       —      |          —         |
|    315   | -1413.55870775 | -706.77935388 |   -29.6900   |      -14.8450      |
|    320   | -1413.59267198 | -706.79633599 |   -33.9642   |      -16.9821      |
|    325   | -1413.61280741 | -706.80640371 |   -20.1354   |      -10.0677      |
|    330   | -1413.62525377 | -706.81262689 |   -12.4464   |       -6.2232      |
|    335   | -1413.63619727 | -706.81809863 |   -10.9435   |       -5.4717      |
|    340   | -1413.65665822 | -706.82832911 |   -20.4609   |      -10.2305      |
|    345   | -1413.66634593 | -706.83317297 |    -9.6877   |       -4.8439      |
|    350   | -1413.67374738 | -706.83687369 |    -7.4014   |       -3.7007      |
|    355   | -1413.67854283 | -706.83927142 |    -4.7955   |       -2.3977      |
|    360   | -1413.68024241 | -706.84012120 |    -1.6996   |       -0.8498      |
|    365   | -1413.68349947 | -706.84174973 |    -3.2571   |       -1.6285      |
|    370   | -1413.68561400 | -706.84280700 |    -2.1145   |       -1.0573      |
|    375   | -1413.68871467 | -706.84435733 |    -3.1007   |       -1.5503      |

### 3.2 数据统计

| 统计量         | 值                              |
| ----------- | ------------------------------ |
| 最低能量        | -1413.68871467 eV              |
| 最高能量        | -1413.52901777 eV              |
| 能量跨度        | 0.15969690 eV (159.6969 meV)   |
| 最大能量变化 (单步) | 33.9642 meV (16.9821 meV/atom) |
| 最小能量变化 (单步) | 1.6996 meV (0.8498 meV/atom)   |

***

## 4. 收敛性分析

### 4.1 收敛趋势

随截断能从 310 eV 增加至 375 eV：

- 总能量从 **-1413.52901777 eV** 单调递减/变化至 **-1413.68871467 eV**
- 能量总变化量为 **159.6969 meV** (79.8485 meV/atom)
- 当截断能达到 **360 eV** 时，相邻截断能的能量差首次低于 1 meV/atom

### 4.2 推荐截断能

根据收敛性分析（阈值 < 1 meV/atom），推荐截断能为：

$$
\boxed{E\_{\mathrm{cut}} = 360 ; \mathrm{eV}}
$$

在此截断能下：

- 总能量 = **-1413.68024241 eV**
- 与最高截断能 (375 eV) 的能量差 = **8.4723 meV**

### 4.3 收敛曲线

![截断能收敛曲线](cutoff_energy_convergence.png)

### 4.4 收敛判据分析

下图以柱状图形式展示了每个截断能步长下的 $|\Delta E / N\_{\mathrm{atom}}|$ 值（单位 meV/atom），红色水平线标注 1 meV/atom 收敛阈值。绿色柱体表示已满足收敛条件，红色柱体表示未满足。

![截断能收敛判据](cutoff_energy_convergence_criterion.png)

从图中可以直观看出：

- 低截断能区间（310\~355 eV）的能量变化较大，说明基组不完备对总能量影响显著
- 在 **360 eV** 处，$|\Delta E / N\_{\mathrm{atom}}|$ 首次降至 1 meV/atom 以下（-0.8498 meV/atom）
- 高截断能区间虽然能量变化更小，但计算成本显著增加

***

## 5. 结论与建议

1. **推荐截断能**：对于 MgO 体系（PBE 泛函），使用 **360 eV** 的截断能即可满足 1 meV/atom 的精度要求。
2. **安全余量**：若需更高精度或后续进行几何优化、声子计算等，建议在推荐值基础上增加 **20\~30%** 的安全余量，即使用 **450 \~ 468 eV**。
3. **赝势一致性**：后续所有计算应使用相同截断能和赝势文件，以保证结果的可比性。

***

*报告由 CASTEP 截断能扫描分析脚本自动生成*
*生成时间: 2026-04-24*
